2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера

2. Принципы логики отношений и логическое обоснование арифметики у Наторпа и Кассирера

Мы лицезрели, каким образом в интерпретации неокантианцев априорный синтез из синтеза разнородных частей — логического и эстетического (чувственного) — стал синтезом разнородных моментов 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера снутри 1-го только логического. Разумеется, что тут неокантианцы оставляют почву кантовской философии, которая стремилась примирить в рамках собственного учения эмпиризм и рационализм, и перебегают на позиции рационализма платоновского типа. Правда, Платону при 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера всем этом они дают несколько нестандартное толкование, но один из важных моментов его диалектики — учение о совпадении противоположностей, о единстве различного — они стопроцентно делят. Поворот к платонизму для неокантианцев был вызван их рвением дать логическое 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера обоснование научного познания и избежать тем релятивизма, связанного с эмпирическим обоснованием науки. Неокантианцы развивают ряд принципов платоновской диалектики — ив этом отношении также сознают себя последователями Платона. Кассирер в статье 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера «К логике понятия символа» пишет, что Платон, «в отличие от Парменида, не является логическим монистом. Он является решительным плюралистом. Королевство мышления, королевство правды не содержится для него в одном единственном неразличимом полагании. Оно 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера конституируется в обилии полагании, которые различаются друг от друга и в то же время связаны друг с дру

-368-

гом... Всякая мысль есть нечто внутри себя определенное и завершенное ... Но это не означает 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, что она стоит полностью сама по для себя. Уже ее обычное бытие включает отношение к другому. Каким образом это отношение может быть и как оно может стать предметом серьезного познания — это с 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера этого момента становится трудной неувязкой. Она стоит в центре учения позднего Платона... Решение ее Платон лицезреет в том, чтоб признать категорию различия основной логической категорией... Кто выбрасывает различие из области незапятнанного 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера мышления и определяет последнее как мышление тождества, тот разрушает тем силу диалектического познания... Аналитическая логика незапятнанного тождества расширяется тем в синтетическую логику, в центре которой стоит вопрос о вероятной связи, отношении и корреляции 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера различного»40.

Диалектика Платона, как видно из приведенного отрывка, рассматривается кантианцами как попытка выстроить синтетическую логику, либо логику отношений. Последняя, таким макаром, близко подходит к тому, что стремился сделать также и Гегель; но, ссылаясь нередко 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера на Платона, неокантианцы, кроме, правда, Кассирера, очень изредка упоминают Гегеля, а Коген гласит о нем всегда в критичном тоне. Выше мы уже отчасти касались этого вопроса. Но на данный 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера момент у нас есть возможность разъяснить его конкретнее.

Дело в том, что неокантианцы, истолковывая трансцендентальный синтез как чисто логический акт и тем подходя очень близко к Гегелю, все таки останавливаются перед тем 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, чтоб объявить этот акт порождающим саму субстанцию бытия. Акт синтеза остается у их единством функции, но не становится единством субстанции: он оказывается порождающим связь, отношение; недаром же Наторп, говоря о первоисточнике, подчеркивает, что он 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера считает неосуществимым выводить из него все содержание сущего тем методом, каким это делал Гегель, полагая в качестве начального пт собственной логики незапятнанное ничто. Из ничто ничего не происходит41, заявляет Наторп, тем желая показать 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, что установление корреляции меж порождающим началом и порождаемым результатом есть совсем другая логическая операция, чем просто логическое выведение порождаемого из порождающего.

-369-

Что представляет собой эта операция и чем отличается 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера она от гегелевского выведения всех логических форм из первой, начальной (лишенной еще всякого определения) логической формы — незапятнанного ничто, Наторп пробует показать при рассмотрении начального понятия Марбургской школы — понятия первоисточника. «Исходить следовал о бы из 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера ничто, так как ничто не может быть предпослано, до того как оно не будет порождено в мышлении42. Но из ничего ничего и не будет. Как следует, это "так называемое" ничто должно 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера быть кое-чем; оно именуется "первоисточное-нечто" (Ursprungs-Etwas). Но тем, видимо, уже словесно вновь нарушается требование, согласно которому ничто не может быть положено в базу, а всякое нечто должно быть, напротив, в первый 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера раз обусловлено... По-другому эту трудность можно было бы выразить к тому же так: если первоисточник должен из себя породить нечто — определенное нечто, то это последнее каким-то образом уже должно в 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера нем заключаться, но тем теряется конкретно то, что составляет суть первоисточника, — незапятнанное порождение мыслительного содержания... Ничто, которое должно быть предпослано чистому порождению содержания зания, в реальности также и согласно 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера Когену есть только «относительное ничто», оно быстрее есть указание на противостоящее другое... Первоисточник полностью сводится к способности перехода, а тем к сплошной непрерывности связи как связи обоснования; не случаем в конце концов 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера самым ясным смыслом когеновского первоисточника оказывается непрерывность мышления»43.

Это очень принципиальное выражение. Сутью первоисточника, как гласит тут Наторп, является «указание на противостоящее другое». Отсылание к другому — вот важное определение первичного акта мышления; мышление 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера начинается там, где начинается это отсылание к другому, противостоящему. Дать определение мышления—означает отнести определяемое к чему-то другому, чем оно само; это и есть установление связи, дела с другим. В этом 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера смысле мышление, в истолковании неокантианцев, выступает как непрерывное опосредование. К требованию связи, опосредования и сводится, фактически, «содержательность» логики неокантианцев. Задачей их становится по

-370-

этому анализ уже имеющихся научных понятий и теорий исходя 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера из убеждений наличия в их «непрерывной связи». Тут неокантианцы вправду в одном отношении наследники Канта, ибо Кант, отвергая допущение умственной интуиции (умственного конкретного познания), утверждал, что мышление по самой собственной сути есть 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера опосредование. А так как всякое познание есть продукт синтеза эмоциональности с мышлением, то оно может быть только опосредованным. То, что дается эмоциональностью, есть данное конкретно, но его нельзя охарактеризовывать как познание. Что все 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера-таки касается неокантианцев, то они не признают не только лишь конкретного познания (как и Кант), да и никакой конкретной данности вообщем (в отличие от Канта).

Это выражение Наторпа дает возможность установить 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, в чем он расползается и с Гегелем. Первоисточное – нечто есть не гегелевское ничто, из которого в предстоящем выводятся все категории логики, а быстрее только указание на противостоящее другое, установление связи с другим, требование связи 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, непрерывности, и больше ничего.

Итак, отсылание к другому, опосредование, установление дела к другому — вот глубочайшая суть мышления, согласно неокантианцам. Но в таком случае мышление находит свое чистейшее воплощение в 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера акте образования знака, ибо его сутью является как раз установление связи с «другим», «отсылание к другому» в более чистом виде. Создание знака, либо, как предпочитает выражаться Кассирер, «символа», — вот 1-ый акт мышления 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера. Приведем в этой связи выражение Кассирера, развивающего положения Наторпа. «Оказывается, — пишет Кассирер в «Философии символических форм», — что всякое теоретическое определение и всякое теоретическое овладение бытием связано с тем, что идея, заместо того чтоб конкретно 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера обращаться к реальности, устанавливает систему символов и употребляет эти знаки в качестве представителей предметов. В той мере, в какой осуществляется эта функция консульства, бытие только и начинает становиться упорядоченным целым 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, некой ясно обозримой структурой»44.

Такое осознание мышления заходит в противоречие с классической теорией абстракции, восходящей к Арис

-371-

тотелю и получившей развитие в эмпиристски-индуктивной традиции XVTI-XVIII вв. Неокантианцы по традиции называют теорию абстракции 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера «аристотелевской логикой». Эта логика в качестве собственной онтологической предпосылки допускает существование обилия вещей, у каких методом сопоставления усматриваются некие общие признаки, которые и составляют содержание понятия. Главные функции мышления сводятся тут фактически к 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера сопоставлению и различению того, что дано в виде наружного и внутреннего обилия. Таковой метод образования понятий был описан в Новое время Локком, но уже Локк отметил, что при всем этом 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера появляются известные трудности, когда дело доходит до образования понятий арифметики. Критики эмпиристской теории абстракции в лице рационалистов XVIII века, а в особенности Канта, проявили, что трудности при таком осознании процесса образования понятий появляются не 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера только лишь в связи с арифметикой, но в арифметике они острее выявляются и поэтому более всего оказываются на виду. Поэтому конкретно тут неокантианцы и выявляют несостоятельность теории абстракций. «Понятие (с 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера этой точки зрения. — П.Г.) не является кое-чем чуждым миру чувственной реальности, оно образует часть самой этой реальности, экстракт из того, что содержится в ней конкретно. Тут понятия четких математических наук 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера стоят на этом же уровне с понятиями описательных наук, занимающихся только обозрением и систематизацией данного. Подобно тому как мы образуем понятия о дереве, извлекая из совокупы дубов, буков, берез и т. д. всю массу 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера их общих признаков, так точно мы образуем и понятие о плоском четырехугольнике, изолируя то особенное свойство, которое практически имеется — и может быть конкретно и наглядно показано — в квадрате и прямоугольнике, в ромбе 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера и ромбоиде, в симметрических и асимметрических трапециях и трапецоидах»45.

Вправду, понятия арифметики — понятия точки, полосы, поверхности и т. д. — нереально рассматривать как абстракции от чувственно данных предметов, в отличие 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, скажем, от классифицирующих понятий биологии, где вправду один вид растений либо животных может быть отличен от другого по тому либо иному чувствен

-372-

но закрепляемому признаку либо группе признаков. Вот поэтому понятия аристотелевской логики — это родовые 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера понятия описательного и классифицирующего естествознания. Кассирер подвергает критике логику Милля, который стремился дать эмпиристское обоснование также и понятиям арифметики46.

Аристотелевская теория образования понятий, его логика плотно сплетена с его метафизикой, с 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера его учением о бытии. В логическом понятии, фиксирующем род и видовое отличие того предмета, который понятием определяется, отражаются формы самой действительности, той реальной субстанции, которая определяет собой все дела. Потому понятия 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, фиксирующие дела, в аристотелевской логике должны быть сводимы к понятиям, фиксирующим сами реальные вещи, в эти дела вступающие47. Конкретно эту особенность аристотелевской логики и отмечает Кассирер. «...Категория дела, — пишет он, — низводится благодаря этому основному 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера метафизическому учению Аристотеля до зависимого и подчиненного положения. По сопоставлению с понятием о сути отношение представляется несамостоятельным; оно может внести в него только дополнительные и наружные видоизменения, не затрагивающие его 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера своей природы»48.

Главным категориальным отношением в аристотелевской логике является отношение вещи к ее свойствам, и все другие связи в принципе должны быть сводимы к этому типу связи. Отсюда — укоренившееся в логике (как Средних 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера веков, так и Нового времени) представление о понятии как родовом понятии, универсалии. В этом пт, гласит Кассирер, сходятся меж собой и номиналисты, и реалисты; они спорят только о том, какова метафизическая действительность 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера понятий (т. е. есть ли они сами по для себя до вещей либо исключительно в нашем представлении, т. е. после вещей), но не о том, какова их логическая структура. В 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера осознании логической структуры как универсального рода, как общего признака личных вещей и номиналисты и реалисты согласны меж собой.

В перенесении центра масс логики с субстанции (и связанной с этим трактовки понятия как родового 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера) на отношение неокантианцы как раз и лицезреют заслугу Канта. Вот что пишет по этому поводу глава Марбургской школы

-373-

Герман Коген: «Глубочайшим посягательством на все принципы исторической метафизики будет то, что Кант 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера сделал понятие субстанции (всего только) подготовительным условием категорий дела. Во всей прежней метафизике субстанция образует и центр, и начальный пункт. Напротив, в Критике она стоит лишь на 3-ем месте как синтетическое основоположение, ибо 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера основоположения аналогии занимают конкретно третье место. Кант нигде не признает в качестве самостоятельного принятое по всеобщему шаблону отношение субстанции к акциденциям, а рассматривает субстанцию исключительно в качестве подготовительного условия подлинных отношений 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, аналогий, пропорций, сравнений...»49.

Субстанция у Канта вправду становится только подготовительным условием всеобщего понятия функции, если не принимать во внимание то событие, что традиционное понятие субстанции сохраняется в «Критике незапятнанного разума» в некой «рудиментарной» форме — в 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера форме вещи внутри себя, «свойствами» которой являются чувства, производимые ее. воздействием в нашей душе. Но этот «рудимент» субстанции неокантианцы самым решительным образом изгоняют из кантовской философии, так что остается только то понятие 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера субстанции, которое бытует в качестве 1-го из основоположений опыта и которое, согласно Канту, является нужным подготовительным условием естественнонаучного зания.

Если моделью, более незапятнанным прототипом понятия, как рассматривалось в аристотелевской логике 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, является родовое понятие классифицирующего и описательного естествознания, то моделью понятия в новейшей логике — логике отношений, которую желают создать неокантианцы, является математическое понятие. Фактически, математика есть та наука, на которую марбуржцы ориентируются сначала, и естествознание 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера они признают в качестве науки только постольку, так как оно является математическим, т. е. имеет арифметику своим фундаментом. В критике аристотелевской логики математическое познание вправду оказывается очень суровым аргументом. Если 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера в понятиях обыкновенной формальной логики (ее кантианцы время от времени именуют «онтологической»)50 объем назад пропорционален содержанию, так как сам

-374-

принцип их образования есть абстрагирование от особенностей единичных вещей, подводимых под общее 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера понятие, то в понятиях арифметики дело обстоит как раз напротив. В их не уничтожается, а сохраняется определенность особых случаев, к которым понятие должно быть использовано. Потому математическое понятие — не абстракция, в какой 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера единичные случаи погашены, а быстрее правило для выведения самих этих единичных случаев. «Так, — пишет Кассирер, — исходя из общей математической формулы — скажем, формулы кривых второго порядка, — мы можем получить личные геометрические образы круга, эллипса и 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера т. д., рассматривая как переменный некий определенный параметр, входящий в общую формулу, и придавая ему непрерывный ряд значений. Общее понятие оказывается тут более богатым по содержанию. Кто обладает им, тот может 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера вывести из него все математические дела, наблюдаемые в каком-нибудь личном случае, не изолируя в то же время этот личный случай, но рассматривая его в непрерывной связи с другими вариантами, другими словами 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера в его более глубочайшем, периодическом значении»51.

Неокантианцы пробуют сделать логику, значительно лучшую от силлогистики Аристотеля, направленной на логику « вещи — свойства». В свое время еще Гегель поставил перед логикой задачку сделать таковой 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера тип понятия, в каком содержание не убывало бы с возрастанием объема, а, напротив, росло бы совместно с ним. В отличие от абстрактного понятия формальной логики Гегель именует новый тип понятий «конкретными» понятиями, а логику 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, оперирующую ими, он называет диалектической. Это уже не логика «вещи—свойства», а логика «системы и ее момента», где всеобщее выступает как некое систематическое целое, а единичное — как момент, член, звено этой системы 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, определяемое самой системой, местом в ней.

Но в рамках гегелевской философии разработка диалектической логики оказалась тесновато связанной с общефилософскими предпосылками этого мыслителя: в конечном счете в качестве величавой Системы у Гегеля 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера выступило все мироздание в целом, так что каждое отдельное явление должно было получить свое определение снутри мирозда

-375-

ния в целом, снутри Абсолютного. Неокантианцы решают задачку сотворения логики «конкретного понятия» на базе определенного положительного предмета 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера — арифметики. Этим они стремятся добиться ограничения той системы, снутри которой должны разворачиваться определения отдельных моментов — математических «единичных случаев». Но открытая и разработанная сначало на материале арифметики, новенькая логика распространяется ими потом 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера и на другие области, где она не имеет уже настолько абсолютного внедрения. Это сначала — область естествознания. Здесь у кантианцев появляются затруднения, и выражаются они приемущественно в том, что целый ряд 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера особенностей и соответствующих черт современного естествознания ускользает от их, не вмещаясь в предлагаемые ими логические рамки. Но распространение логики отношений на всю область научного познания составляет важное требование неокантианства. «Против логики родового понятия, стоящей 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, как мы лицезрели, под знаком и господством понятия о субстанции, выдвигается логика математического понятия о функции. Но область внедрения этой формы логики можно находить не в одной сфере арифметики. Быстрее можно утверждать, что 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера неувязка перекидывается немедля и в область зания природы, ибо понятие о функции содержит внутри себя всеобщую схему и эталон, по которому создалось современное понятие о природе в его прогрессивном историческом развитии»62. Известные 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера трудности при применении логики отношений появляются у неокантианцев не только лишь при попытке доказать с ее помощью естественнонаучное зание, да и снутри самой арифметики. Мы этого вопроса коснемся специально, а пока 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера разглядим, каким образом логическая теория кантианцев реализуется в применении поначалу к понятию числа, а потом — к понятию места.

^ 3. Неокантианское понятие числа

Понятие числа, согласно Кассиреру и Наторпу, лежит в базе всякого 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера научного, т. е. серьезного и четкого, познания. «В идее о числе, — пишет Кассирер, — кажется заключенной вся сила познания, вся возможность логического

-376-

определения чувственного. Нельзя было бы понять ничего о вещах, ни в их 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера отношении к самим для себя, ни в отношении к другим вещам, если б не было числа и его сущности»53. Конкретно поэтому, что понятие числа рассматривается неокантианцами в качестве важного фундамента науки 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, они склонны датировать появление науки в своем смысле слова, как это было принято, с пифагорейцев. Тут неокантианцы на сто процентов делят убеждение Канта, что «учение о природе будет содержать науку в своем смысле только 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера в той мере, в какой может быть использована в нем математика»64.

Как мы уже лицезрели, в собственной логической концепции неокантианцы исходят из того, что найти понятие — означает разглядеть его как начальный 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера пункт неких суждений, как совокупа вероятных отношений. Потому и определение понятия числа они связывают не с объектами — наружными либо внутренними, а с самими актами установления отношений, с самой синтетической деятельностью зания 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера. «Первое условие логического осознания числа, — пишет Наторп, — это осознание того, что здесь идет речь не о данных вещах, а о незапятнанных закономерностях мышления»55. Но что такое мышление, если разглядеть его не 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера с психической, а с логической точки зрения? Это, гласит Наторп, только полагание дела, и ничего больше66. Вкупе с самим отношением полагаются и определения дела. Всякое отношение просит установления определений, сначала хотя бы 2-ух. «Термины различаются 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера: то, к чему имеет место отношение, становится предыдущим, оно мыслится как база дела, оно должно быть положено, чтоб в отношении к нему могло быть положено Другое, которое мыслится как следующее 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, позднейшее. Как следует, отношение нужно включает основоположение и противоположение»67.

В сути, этот основной акт полагания и лежит в базе числового ряда. Вот та обычная мыслительная операция, которая составляет его логическую базу: «Пусть дано 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера отношение Р к О, где Р — основной член, а О — противочлен; тогда в новеньком отношении О может стать главным членом, требующим последующего члена в качестве противочлена, к примеру Q; и это не 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера поэтому, что весь

-377-

ряд этих членов уже принимается как данный (как это имеет место в случае алфавита), а так как все члены в первый раз полагаются всегда идиентично циклическим отношением»68. Результатом 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера такового полагания оказывается ряд, нескончаемо продолжающийся в обе стороны, в каком каждый член является противочленом по отношению к предыдущему и главным членом по отношению к последующему. Неокантианцы демонстрируют, что такового рода ряд уже 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера задает основной тип всех тех предметов, с которыми имеет дело математика. Наторп предпринял особое исследование, в каком из этой базы развил понятия сложения и вычитания, умножения и деления, понятия положительных и отрицательных, целых 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера и дробных чисел69.

При всем этом Наторп и Кассирер опираются на теорию числа Дедекинда, который, по воззрению Кассирера, посреди математиков более близко подошел к осознанию числа как мыслительной конструкции 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера60. Вправду, некие положения работы Р. Дедекинда «Чем являются и чем должны быть числа?» очень близки к неокантианской концепции числа. Так, к примеру, Дедекинд пишет: «Если при рассмотрении просто нескончаемой системы N, упорядоченной через отображение ср 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, совсем отвлекаются от особых параметров частей и имеют в виду только их различимость и те дела, в которые они стали друг к другу благодаря упорядочивающему отображению Ф, то эти элементы именуются натуральными 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера числами, либо порядковыми числами, либо просто числами, и основной элемент 1 именуется главным числом числового ряда N. Исходя из убеждений этого освобождения частей от всякого другого содержания (абстракции) можно с полным 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера правом именовать числа свободным творением людского духа. Дела либо законы, которые... во всех упорядоченных просто безграничных системах всегда одни и те же, какие бы случайные имена ни носили отдельные элементы, образуют ближний предмет 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера науки о числах, либо арифметики»61. Нельзя не увидеть, правда, что Дедекинд все-же исходит, в отличие от неокантианцев, из обычного взора, согласно которому существует некое огромное количество вещей, независящих от творческого 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера акта духа, от содержания которых математика абстраги

-378-

руется. Но коль скоро методом абстрагирования от «особенных параметров элементов» получен натуральный ряд чисел, их можно рассматривать как свободное творение людского духа, так как сейчас порядок и 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера связь меж ними заключается не в элементах самих по для себя, а в отношении ряда, которым они связаны. Как гласит Кассирер, «методическим преимуществом науки о числах оказывается как раз то 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, что в ней оставляется без рассмотрения "что" частей, образующих некую определенную поступательную связь, и рассматривается только "как" этой связи»62.

Как уже можно додуматься на основании изложенного, неокантианцы выводят количественное число из порядкового 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера. Они опираются при всем этом опять-таки на Р. Дедекинда, также на Г. Гельмгольца и Л. Кронекера, развивавших порядковую теорию математики. Суть порядковой теории, как она представлена, к примеру, у Дедекинда, можно сконструировать последующим 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера образом. Всякую конечную систему можно сопоставить с числовой совокупой, установив при всем этом однозначное соответствие меж каждым элементом системы и одним членом совокупы чисел. Так как порядок числовой совокупы установлен 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера как постоянный, то всегда есть возможность установить однозначное соответствие меж последним элементом системы и неким порядковым числом п. Это число п, которое является порядковой чертой последнего элемента системы, можно рассматривать как 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера характеристику всей системы: тогда оно получает заглавие количественного числа, а о системе сейчас можно сказать, что она состоит из п частей63. Гельмгольц, тоже предлагавший порядковую теорию арифметических чисел, при всем этом заявлял, что рассмотрение количественных 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера чисел не приводит ни к каким новым свойствам и отношениям, которых нельзя было бы вывести из рассмотрения 1-го только порядка. Никакого нового математического содержания при переходе от порядковых чисел 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера к количественным, по Гельмгольцу, не появляется64.

Неокантианцы, разделяя эту теорию арифметического числа, не согласны, но, с тем, что при образовании количественного числа не появляется новых отношений, т. е. нового содержания. Возражая Гельмгольцу 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера, Кассирер пи

-379-

шет: «Но нельзя не созидать, все же, того, что в образовании количественного числа сказывается новенькая логическая функция. Если в теории порядкового числа были установлены единичные акты как таковые и развиты 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера в виде конкретной серии, то сейчас подымается требование разглядеть ряд не в его отдельных элементах, один за одним, но как безупречное целое. Предшествующий момент не просто должен быть вытеснен следующим, но должен сохраниться в 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера нем по всему собственному логическому значению, так что последний акт процедуры обхватывает внутри себя сразу и все предыдущие ему акты и закон их обоюдной связи»65.

Это возражение Кассирера имеет важную для неокантианской 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера теории математического познания подоплеку. Дело в том, что некие сторонники порядковой теории числа, сначала Гельмгольц, давали ей номиналистическое обоснование. Так, Гельмгольц, к примеру, рассматривает «порядок» как нечто такое, что можно вскрыть конкретно 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера в чувственных впечатлениях. Такая точка зрения подразумевает, что .имеются налицо определенные группы предметов и задачка мышления сводится только к тому, чтоб установить для их надлежащие разные обозначения, знаки. Подобно тому как 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера мы отличаем вещи одну от другой, мы обязаны иметь возможность различать и знаки — по их наружной, данной чувственному восприятию, форме. Гельмгольц поэтому и не склонен усматривать в количественном числе ничего нового по сопоставлению с 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера порядковым, ибо в данном случае пришлось бы признать содержание, которому нереально отыскать чувственного аналога, кроме того, что уже найден для порядкового числа. Возражая Гельмгольцу, Кассирер тем подчеркивает, что знаки нужно 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера рассматривать не в согласовании с тем, что они представляют собой чувственно, а в согласовании с тем, что они означают на уровне мыслей.

В собственной критике номинализма и потом формализма при обосновании арифметики Кассирер 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера ссылается на Фреге, который «в чуткой и серьезной критике показал, что математика символов может существовать поэтому только, что она остается неправильной самой для себя. В процессе логического развития на место пустых 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера знаков становится неприметно содержание арифметических понятий»66.

-380-

Как лицезреем, неокантианцы не просто присоединяются к математикам, разделяющим концепцию порядкового числа как «первичного» по сопоставлению с количественным: и Кассирер, и Наторп делят эту концепцию 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера при условии ее логического обоснования, исключающего эмпирическое толкование самого «порядка». И у Дедекинда, и у Кронекера, а в особенности у Гельмгольца теория порядкового числа носит номиналистический нрав; неокантианцы же стремятся высвободить ее от номинализма, настаивая 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера на том, что «порядок», о котором речь идет, представляет собой безупречную, мысленную конструкцию.

Принимая таким макаром порядковое число как начальное, а количественное — как итог логического преобразования порядкового, неокантианцы выступают 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера против пробы выстроить теорию числа, исходя из количественного числа как первичного и основного. В конце XIX — начале XX вв. такая попытка предпринималась математиками, стремившимися свести понятие о числе к понятию о классе. Если исходя 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера из убеждений порядковой теории отдельное число никогда не является кое-чем самим по для себя, а получает свое значение только по тому месту, которое оно занимает в системе чисел, т 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера. е. определяется отношением к системе в целом, то исходя из убеждений количественной теории, сводящей понятие о числе к понятию о классе, значение чисел должно быть дано ранее порядка и независимо от него 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера. Члены числового ряда определяются тут как общее свойство узнаваемых классов, и только по их значению устанавливается определенный порядок их следования вереницей. К такому обоснованию числа склонялись многие арифметики, в числе их Г. Фреге, Б 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера. Рассел и др.

При таком обосновании числа арифметики ворачиваются вроде бы к предпосылкам аристотелевской логики — «старой формальной логики, только с еще более широким объемом»67. По правде, как определяется понятие числа 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера согласно этому направлению? Оно определяется не через отношение, а по принципу «вещь — свойство». Каким же образом можно установить «свойство», «признак» числа? Методом установления того, что значит равенство чисел. Если мы выясним, при каких 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера критериях мы считаем

-381-

два огромного количества равнозначными, то тем определим тот признак, который является тождественным в обоих. Эквивалентность множеств выявляется методом установления взаимнооднозначного соответствия меж членами обоих (либо многих) множеств. Этот признак 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера эквивалентности может сейчас рассматриваться в качестве вроде бы родового понятия всех тех множеств, относительно которых можно установить эквивалентность.

Хотя эта теория числа противопоставляется Фреге, Расселом, Уайтхедом и другими математиками эмпирическому обоснованию числа (типично, что 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера главные критичные суждения по поводу номиналистического осознания «порядка» у Гельмгольца неокантианцы заимствуют конкретно у Фреге), но у нее, согласно неокантианцам, есть одна общая с эмпиризмом черта: она тоже рассматривает число 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера как «общее свойство» неких предметов. Правда, эти предметы сейчас не сами чувственные вещи, а понятия о их, т. е. образования не эмпирические, а безупречные, но логически ход мысли предопределен и тут 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера логикой Аристотеля. Потому полемика Наторпа и Кассирера с Расселом и Фреге воспроизводит в этом пт уже прослеженную нами полемику их против логики родовых понятий, которым они противопоставляют логику отношений. «Если бы, — пишет Кассирер, — удалось 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера вывести понятие о числе из понятия о классе, то это послужило бы на пользу классической форме логики, у которой был бы укреплен ее новый начальный пункт»68.

Но тут стоит отметить, что свойственное 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера для неокантианства рвение отыскать у Рассела общий с эмпиризмом логический принцип необоснованно, ибо начальным пт у Рассела является задание дела типа равенства, что нельзя отождествить с начальным пт эмпиристов. Обоснование 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера Расселом понятия числа при помощи понятия класса имело собственной целью решить суровую делему арифметики—выстроить такую логическую теорию, которая позволяла бы разъяснить и конечные и нескончаемые числа. Ведь принцип взаимнооднозначного соответствия множеств 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера остается в силе тогда и, когда мы перебегаем к нескончаемым огромным количествам, где уже неосуществимым становится счет как поочередный переход от единицы к единице.

-382-

Хотя Кассирер и дает для себя отчет в 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера том, какие задачки пробовали решить арифметики, вводя понятие «класса», но он считает, что при всем этом характеристики, общие конечным и трансфинитным числам, еще не заключают внутри себя момента, который нужен для образования конкретно 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера числа. «Какой бы плодотворной ни оказалась возникающая в этой связи точка зрения «мощности», этим все-же не подтверждено, что она совпадает с понятием о числе»69.

Обоснование числа при помощи понятия «класса» допускает реальное существование 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера безупречных объектов. Кассирер же отторгает реалистическое обоснование арифметики — в средневековом значении термина «реализм». В большинстве случаев в современной литературе реалистическое направление называют «платонизмом», имея в виду, что Платон был одним 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера из первых, кто допустил реальное существование всеобщих понятий, универсалий (мыслях). Это заглавие в известной мере условно, ибо, как замечают Френкель и Бар-Хиллел, «был ли (ну и вообщем мог ли быть) платонистом 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера сам Платон — вопрос спорный»70. Неокантианцы, как мы лицезрели, во всяком случае склонны истолковывать логику Платона в духе собственной логики отношений, и некие основания к тому они вправду имеют (в особенности применительно 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера к позднему Платону). Но дело, естественно, не в заглавии: сторонники «реалистического» обоснования арифметики исходят из того, что само огромное количество является реально имеющимся (хотя и не так, как реально есть эмпирические вещи, а быстрее 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера — как есть понятия о их) и имеет таковой же онтологический статус, как и его члены.

Но у самих неокантианцев остается нерешенной одна из главных заморочек современной арифметики: как можно при помощи порядковой 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера теории доказать нескончаемое огромное количество? По правде, чтоб перейти от порядка к количеству, нужно принять в качестве постулата, что при любом методе упорядочения огромного количества последний элемент будет одним и этим же 2. Принципы логики отношений и логическое обоснование математики у Наторпа и Кассирера порядковым номером. По отношению же к нескончаемым огромным количествам такое утверждение не имеет силы. Тут находится слабенький пункт концепции числа неокантианцев. Теория множеств для их представляет собой неразрешимую делему.

-383-



2-rukovoditelyam-komand-igri-intellektualnij-marafon-6-e-klassi.html
2-rukovodstvo-konkursom.html
2-rukovodstvo-provedeniem.html